问题标题：
旋转体的问题设平面图形由y=x^3,直线y=0及x=2围成,求该图形绕y轴旋转所得图形.这题我怎么算都算不出64π/5
更新时间:2024-04-22 02:20:24
问题描述：
旋转体的问题
设平面图形由y=x^3,直线y=0及x=2围成,求该图形绕y轴旋转所得图形.
这题我怎么算都算不出
64π/5
顾传青回答：
将x轴等分为若干份,间距为dx,相应地,在y轴上对应的间距则为dy,用垂直于y轴的平面将该旋转体切成一系列薄片,那么这些薄片是一系列圆环式的柱体,其外半径为2,高为dy,所以
该柱体在横坐标为x处的内半径为x,
其底面积S=π*2²-π*x²=π(4-x²)
其体积为dV=S*dy=π(4-x²)*d(x³)=π(4-x²)*3x²dx=3π(4x²-x^4)dx
所以整个旋转体的体积
V=∫[3π(4x²-x^4)]dx
=3π(4x³/3-x^5/5)∣
=3π(4*2³/3-2^5/5)
=64π/5
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