问题标题：
【已知抛物线C1:x^2=4y与圆:x^2+y^2=32相交于A、B两点,圆C1与y轴正半轴交于C,L是过弧ACB上一点的圆C2的切线,且交抛物线C1于M(X1,Y1)和N(X2,Y2)两点.（1）求点A、B、C的坐标；（2）若直线L的方程为y=kx+b,求】
更新时间:2024-04-22 02:19:53
问题描述：
已知抛物线C1:x^2=4y与圆:x^2+y^2=32相交于A、B两点,圆C1与y轴正半轴交于C,L是过弧ACB上一点的圆C2的切线,且交抛物线C1于M(X1,Y1)和N(X2,Y2)两点.（1）求点A、B、C的坐标；（2）若直线L的方程为y=kx+b,求k与b的关系,并求b的取值范围；（3）若d表示M、N到抛物线C1的焦点的距离之和,求d取最大值时L的方程.
何春生回答：
（1）联立抛物线C1:x^2=4y和圆:x^2+y^2=32的方程可得
y2+4y-32=0（y+8)(y-4)=0
可得y=-8或y=4
因为抛物线开口向上,所以y=-8不合题意.
所以y=4带入抛物线方程可得x=4或x=-4
则抛物线和圆的交点A和B坐标是(4,4)和(-4,4)
根据题意可得C点横坐标是0带入圆的方程可得y=4√2或y=-4√2
y=-4√2不合题意
则C点坐标是(0,4√2)
（2）联立直线和抛物线的方程可得x2-kx-b=0
y2-(4k2+2b)y+b2=0
可得x1-x2=4√k2+b
y1-y2=√(4k2+2b)2-4b2
可得k=（y1-y2)/(x1-x2）=(√(4k2+2b)2-4b2)/(4√k2+b)
当直线和圆的切点在抛物线上时b取最大值b=8
当直线和圆的切点在y轴上时b取最小值b=4√2
（3)根据题意可得当d取最大值时直线和圆的切点在抛物线上
此时b=8k=1或k=-1
L的方程是y=x+8或y=-x+8
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